المجموعات

توضح لنا نظرية عدم اكتمال Gödel وجود قيود في جميع الأنظمة

توضح لنا نظرية عدم اكتمال Gödel وجود قيود في جميع الأنظمة

تم تدوين نظريات عدم الاكتمال لكورت جودل في عام 1931 ، ولكن يتم الحديث عنها حتى اليوم وستظل موضوع العديد من المناقشات القادمة. السبب الذي يجعل نظرية عدم الاكتمال لجودل مثيرة للاهتمام للغاية هو أنها تهدف إلى إظهار مكامن الخلل في النظام التي صنعناها لأنفسنا.

لكي نكون أكثر وضوحًا ، تُظهر نظريات عدم الاكتمال الخاصة بجودل أن أي نظام منطقي يتكون إما من تناقض أو عبارات لا يمكن إثباتها.

ذات صلة: فرضية ريمان: مشكلة رياضيات عمرها 160 عامًا ومليون دولار

هذه النظريات مهمة جدًا في مساعدتنا على فهم أن الأنظمة الرسمية التي نستخدمها ليست كاملة. (أالنظام الرسمي هو نظام من البديهيات ، يحتوي على قواعد الاستدلال ، والتي تسمح للفرد بتوليد نظريات جديدة.) كما أنه يفتح الحجة القائلة بأنه لا توجد نظرية في الفيزياء أو الرياضيات أو أي عمودي يمكن أن تكون مؤكدة بنسبة 100٪.

لفترة طويلة ، انزعج علماء الرياضيات من حقيقة أنهم لم يتمكنوا من إثبات أشياء واضحة ، بسبب عدم وجود طرق للقيام بذلك.

في القرن العشرين ، كان هناك اتجاه لإضفاء الطابع الرسمي على الرياضيات ، مما ساعد علماء الرياضيات على حل أصعب المشكلات من خلال العمل نحو نظرية كل شيء - نظرية موحدة لجميع الرياضيات.

ومع ذلك ، فقد أظهرت نظريات عدم الاكتمال لجودل أن مثل هذه النظرية الفردية لكل شيء لن تكون ممكنة. لا يمكن إثبات كل شيء ، حيث ستكون هناك دائمًا عبارات في الرياضيات لا يمكن إثباتها أو دحضها.

أي نظام رسمي متسق F يمكن من خلاله إجراء قدر معين من الحساب الأولي غير مكتمل ؛ على سبيل المثال ، هناك عبارات للغة F لا يمكن إثباتها أو دحضها في F.

في هذا البيان ، عليك الانتباه إلى كلمتين "متسقة" و "غير مكتملة".

النظام هو ثابتة عندما لا تحتوي العبارات التي بداخلها على أي تناقضات.

النظام هو غير مكتمل عندما لا يمكن إثبات أو دحض كل العبارات الموجودة فيه أو بعضها.

تنص النظرية على أن النظام F التي لا تحتوي على أي تناقض في العبارات عند تطبيقها على الحساب الأولي سيكون لها بديهيات لا يمكننا إثباتها أو دحضها.

الآن ، قد تسأل لماذا لا يمكننا دحض أو إثبات شيء ما بشكل كامل. في الرياضيات ، البديهيات هي عبارات أو افتراضات تعتبر راسخة أو مقبولة أو صحيحة بشكل واضح ولا تحتاج إلى إثباتها ضمن النظرية.

البديهيات مهمة جدًا في الرياضيات لأنها تساعد عالم الرياضيات على توسيع نطاق دراسته دون الحاجة إلى إثبات كل جانب من جوانب النظرية مرة أخرى.

ومع ذلك ، تنص نظرية عدم الاكتمال الأولى لجودل على أن بعض الحقائق الحسابية لا يمكن إثباتها لأن ذلك سيتطلب نظامًا رسميًا يتضمن طرقًا تتجاوز النظام الحسابي المستخدم لاشتقاقها.

بالنسبة لأي نظام ثابت F يمكن من خلاله تنفيذ قدر معين من الحساب الأولي ، لا يمكن إثبات اتساق F في F نفسها.

هذا امتداد لنظرية عدم الاكتمال الأولى ويوضح أن النظام الرسمي الذي يدعي نفسه أنه ثابت لا يمكن أن يثبت أنه لا يحتوي على أي تناقضات. في حالة النظرية الثانية ،F يجب أن يحتوي على معلومات حسابية أكثر بقليل مما في حالة النظرية الأولى.

أظهر جودل هذه النظرية باستخدام مفارقة الكاذب.

ضع في اعتبارك عبارة "أنا أكذب". "أنا أكذب" هو تناقض ذاتي ، لأنه إذا كان صحيحًا ، فأنا لست كاذبًا ، وهو خطأ ؛ وإذا كانت خاطئة ، فأنا كاذب ، وهذا صحيح.

ومن ثم ، لا يمكن للبيان أن يثبت أو يدحض نفسه.

قبل نظريات جودل ، كان العالم الرياضي يحكمه برنامج هيلبرت. صاغ هذا ديفيد هيلبرت في أوائل العشرينالعاشر قرن لوضع حد للمفارقات التي تم العثور عليها في نظرية المجموعة. ودعا إلى إضفاء الطابع الرسمي على جميع الرياضيات في شكل بديهي ، إلى جانب إثبات أن هذه البديهية للرياضيات متسقة.

أصبحت هذه المفارقات صعبة للغاية بالنسبة لعلماء الرياضيات. لذلك ، قسم هلبرت العبارات الرياضية إلى قسمين - مضمون ومثالي.

تعتبر رياضيات المحتوى متسقة وحسابية بطبيعتها. الرياضيات المثالية هي الرياضيات ذات القيمة الأساسية في العلوم أو البساطة الرياضية.

في جوهرها ، تعتبر الرياضيات المثالية مفاهيمية بينما الرياضيات المحدودة أو الرياضيات الموضوعية لها استخدام عملي.

لجلب إحساس بالمبدأ الصلب في الرياضيات ، اقترح هيلبرت أن الرياضيات يجب أن تستند إلى أساس ثابت يمكن إثباته من البديهيات. أطلق هيلبرت على هذا اسم "وجهة النظر المالية".

ومع ذلك ، دحضت نظريات عدم الاكتمال لجودل حجج برنامج هيلبرت. نظريات جودل التي تنص على أن أي أنظمة تحتوي على الحساب سيكون لها حجج لا يمكننا إثباتها أو دحضها وأننا لا نستطيع إثبات أن النظام الرياضي متسق ، تطرح الجدل حول الاتساق النهائي خارج النافذة.

وجهت نظرية جودل ضربة قوية لبرنامج هيلبرت ، وتوقف علماء الرياضيات عن استخدام النهج في تقييم الأنظمة المالية والمثالية. أثبت جودل أساسًا أنه في أي فرع من فروع الرياضيات ، ستكون هناك حجج لا يمكن للمرء إثباتها أو دحضها.

أدى هذا إلى فتح مجموعة متنوعة من الحجج ، ليس فقط في الرياضيات ولكن أيضًا في مجالات أخرى من العلوم والمنطق.

على سبيل المثال ، تشير نظرية جودل إلى أنك لن تكون قادرًا أبدًا على فهم نفسك حقًا لأن عقلك موجود في نظام مغلق ، ولا يمكنه معرفة الأشياء إلا من وجهة نظره الخاصة.

من خلال نظريات عدم الاكتمال لجودل ، نعلم أن أي عملية تتعامل مع العمليات الحسابية الأساسية سيكون لها عبارات لا يمكننا إثباتها أو دحضها. بالمعنى الحديث ، هذا يعني أنه لا يمكنك بناء مترجم أو مضاد فيروسات مثالي.

سمحت نظرياته باشتقاق العديد من النتائج حول حدود الإجراءات الحسابية. والمثال البارز هو عدم قابلية حل مشكلة التوقف.

مشكلة التوقف هي مشكلة معرفة ما إذا كان البرنامج الذي يحتوي على مدخلات معينة سيتوقف في وقت ما أو يستمر في العمل في حلقة لا نهائية. مشكلة القرار هذه مفيدة لتوضيح قيود البرمجة.

يمكن أيضًا استخدام تصريح جودل بأن هناك أشياء أكثر صحة مما يمكنك إثباته لتوضيح أن الإيمان والعقل لا يتعارضان مع بعضهما البعض ، ولكنهما مترابطان. كل أشكال العقل سيكون لها شيء لا يمكنك إثباته.

حتى أن نظرية جودل قد استخدمت كبناء منطقي لإثبات وجود الله (دليل جودل الأنطولوجي).

النظريات لا تعني نهاية الرياضيات ولكنها كانت طريقة جديدة لإثبات ودحض العبارات القائمة على المنطق. أظهرت لنا نظرية جودل القيود الموجودة في جميع الأنظمة المنطقية وأرست الأساس لعلوم الكمبيوتر الحديثة.


شاهد الفيديو: hodge conjecture - حدسية هودج أصعب مسألة في تاريخ الرياضيات (ديسمبر 2021).